離散数学 (全52問中17問目)

No.17

食品A及び食品Bの各1gに含まれる三つの成分1〜3を調べたところ,含有量は表のようになった。成分1を70mg以上,成分2を80mg以上摂取するとき,成分3の最小摂取量は何mgか。
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分類

テクノロジ系 » 基礎理論 » 離散数学

正解

解説

線形計画法に則って考えると成分1を70mg以上,成分2を80mg以上摂取するには、以下の3通りの方法あります。
  1. 食品Aのみで摂取
  2. 食品Bのみで摂取
  3. 食品Aと食品Bを組合わせて摂取
この3パターンにおける成分3の最小摂取量を比較して答えを導きます。

[1.食品Aのみで摂取]
食品Aのみで摂取する場合は、成分1の摂取量(70mg)を満たすために最低でも食品Aが70g必要となります。食品Aには1g当たり1mgの成分3が含まれているので、食品Aのみの場合の成分3の最小摂取量は「70mg」になります。

[2.食品Bのみで摂取]
食品Bのみで摂取する場合は、成分2の摂取量(80mg)を満たすために最低でも食品Bが40g必要となります。食品Bにも1g当たり1mgの成分3が含まれているので、成分3の最小摂取量は「40mg」になります。

[3.食品Aと食品Bを組合わせて摂取]
「成分1を70mg以上,成分2を80mg以上摂取可能」かつ「食品Aと食品Bの合計が最も少ない」という条件を満たす食品A,Bの摂取量を連立方程式を用いて導きます。

食品Aの摂取量をx,食品Bの摂取量をyとして、ちょうど成分1が70mg,成分2が80mgとなるxとyを式にすると、

 {x+4y=70 …@(成分1)
 {3x+2y=80 …A(成分2)

という式ができます。

後は普通に連立方程式を解いていくだけです。今回は代入法を使って解いていきます。

 x+4y=70
 x=70−4y …B

Aの式中のxにBの式を代入

 3(70−4y)+2y=80
 210−12y+2y=80
 −10y=−130
 y=13 …C

@の式中のyにCを代入

 x+4×13=70
 x+52=70
 x=18

以上の計算より、食品A,Bを組合わせた場合は、食品A 18g、食品B 13gで成分1,2の必要量を摂取可能とわかります。両方の食品とも1g当たり1mgの成分3が含まれているので、このパターンにおける成分3の最小摂取量は18mg+13mgで「31mg」です。

したがって3パターンのうちで最も少ない31mgが成分3の最小摂取量になります。よって「イ」が正解です。
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