設問1のbの答えは「ホスト名」となっていますが、
「ドメイン名」は間違いなんでしょうか。

よろしくお願いします。

例えば、プロキシサーバが
proxy.a-sha.co.jp
の場合、ブラウザの設定で「proxy」と登録することは理解されていて、あえて、ドメイン名ではダメか？と質問されていると推察します。

用語を正確に使うと、
proxy.a-sha.co.jpはFQDN
proxyはホスト名
a-sha.co.jpはドメイン名
です。つまり、FQDN＝ホスト名.ドメイン名です。
したがって、ホスト名が正解で、ドメイン名では不正解です。

ただし、さまざまな書籍やサイトにおいて、Aレコードの説明がバラバラです。
Aレコードは、FQDNに対応するIPアドレスを記述する。  …  正しい
Aレコードは、ホスト名に対応するIPアドレスを記述する。  …  ある条件では正しい
Aレコードは、ドメイン名に対応するIPアドレスを記述する。  …  どう見ても誤り

具体的には、
proxy.a-sha.co.jp. IN A 192.168.0.1  …  FQDNで記述した例
と記述するか、
$ORIGIN a-sha.co.jp.
があれば、
proxy IN A 192.168.0.1  …  ホスト名で記述した例
と記述できます。

なお、参考までにですが、
a-sha.co.jp. IN MX 10 mail.a-sha.co.jp.
は正しいです。MXレコードは、ドメイン名に対応するメール受信サーバのFQDNを記述します。

ありがとうございます！
質問してよかったです。

自分が投稿した内容を後で読み直してみて、説明が足りなかったので追記します。

Aレコードを記述する際のFQDN、ホスト名、ドメイン名について触れましたが、言いたかったのは、この3つの用語を混同せず、正しく区別して理解しておくことが重要だということです。

ありがとうございます！

いいたいことはわかるし、誤解のないようにFQDNという主張は大賛成だけれど
ドメイン名で誤りではないはず。
アップデート追いかけてきっていないので該当箇所が更新されていたら申し訳ないが

RFC1035
3.3. Standard RRs
で<domain-name>と記述使われているので。