回答ではTLS証明書を
  AP１  AP２
にインストールするとありますがなぜ、
  DNSサーバー  や  FW＃１  代理会社接続ルーター
ではいけないのでしょうか。
  APサーバーと通信する経路のどこかにTLS証明書を配置すればいいのでは？
と疑問に思っています。

DNSサーバはHTTPSの通信の間に差し込まれるでしょうか。
FWやルータはいったいどのような機器でしょうか。
それを考えると、それらの機器にインストールすることはありえないことがわかります。