平成20年秋期試験問題 午前問3

関数y=ƒ(x)上の点(x0,ƒ(x0))における接線とx軸との交点のx座標をx1とする。x0とx1の関係式はどれか。ここで,ƒ'(x)はƒ(x)の導関数である。
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  • x1=ƒ'(x0)-ƒ(x0)
  • x1=ƒ(x0)-ƒ'(x0)
  • x1=x0ƒ'(x0)ƒ(x0)
  • x1=x0ƒ(x0)ƒ'(x0)
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分野:テクノロジ系
中分類:基礎理論
小分類:応用数学
解説
導関数 ƒ'(x) に定数を代入した値 ƒ'(x0) を微分係数といい、これは接線の傾きを表します。

ここで、傾きの定義を考えます。xy平面上における直線の傾きは、yの変化量÷xの変化量で定義されています。この問題の接線は (x1, 0) と (x0, ƒ(x0)) を通る直線なので、yの変化量を ƒ(x0)-0、xの変化量を x0-x1 とすれば、

 ƒ'(x0)=ƒ(x0)x0-x1

となり、これを以下のように変形すると、

 ƒ'(x0)=ƒ(x0)x0-x1
 ƒ'(x0)(x0-x1)=ƒ(x0)
 x0-x1ƒ(x0)ƒ'(x0)
 -x1ƒ(x0)ƒ'(x0)-x0
 x1=x0ƒ(x0)ƒ'(x0)

「エ」の関係式 x1=x0ƒ(x0)ƒ'(x0) となります。

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