初歩的な質問でお恥ずかしいのですが、
解説で以下のようになっています。

10D≒2B
  (両辺の対数をとる)

なぜ、両辺の対数で「log10」となるのか、教えて頂けないでしょうか。

よろしくお願いします。

両辺が等しい（ほぼ）ので両辺に同じ操作をしても等しいはずなので対数をとります
何を底にしても等式のままですが問題では10と2があるのでどちらかにします
結果から言うと2を底にしても最終的には底を変換することで同じ答えになりますが
この問題の場合左辺がDになっているので10を底にすると10^D≒2^Bの左辺が一発でDになり早いです

以上の説明でわからないところがありましたら一度教科書などで対数の定義から再確認していただき、底の変換等を含む練習問題を何問かやってみるといいかもしれません
もっとも所詮たくさんある問題のうちの一つにすぎませんので理解に時間がかかりそうなら
合格を優先するためにはいったん飛ばして他の問題に力を入れるのもありでしょう

たぶん高校以来の対数だと思うので、

対数とは何なのかとその公式・メリットについて。対数をとるとはどういう意味か？
atarimae.biz/archives/12581
を読んでもう一度対数ってなんだっけってのを復習してみてください。まあ・・・この試験で対数がそんな高校数学ほどゴロゴロ出てくるわけじゃないですけどね。昔パスワードの桁数計算で対数計算させられたくらいです