令和7年秋期試験問題 午前問2
問2解説へ
コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは，伝票データをためる待ち行列をもち，M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒以上となるのは，システムの利用率が少なくとも何%以上となったときか。ここで，伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。
- 伝票データは，ポアソン分布に従って到着する。
- 伝票データをためる数に制限はない。
- 1件の伝票データの処理時間は，平均T秒の指数分布に従う。
- 33
- 50
- 67
- 80
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解説
M/M/1の詳しい説明はここでは省きますが、待ち行列モデルにおける平均待ち時間とは、サービス（処理）の要求が発生してから実際にそのサービス（処理）が開始されるまでの時間のことです。
平均待ち時間を求める公式は次のとおりです。
平均待ち時間＝利用率1－利用率×平均サービス時間
設問には「1件の伝票データの処理時間は，平均T秒の指数分布に従う」とあるため、上記式の平均サービス時間はT秒が入ります。平均待ち時間がT秒以上となる利用率を求めたいので、以下の式で解がT秒以上となる利用率を求めればよいわけです。
利用率1－利用率×T
式を確認すると、平均サービス時間はT秒以上になるのは、利用率1－利用率の部分が1以上であるときです。この関係式を解くことで、求めるべき利用率ρ（ロー）を得られます。
ρ1－ρ≧1
ρ≧1－ρ
2ρ≧1
ρ≧0.5 ⇒ 50%
以上より、平均待ち時間がT秒以上となるのは、利用率が50%以上となったときとわかります。したがって「イ」が正解です。
平均待ち時間を求める公式は次のとおりです。
平均待ち時間＝利用率1－利用率×平均サービス時間
設問には「1件の伝票データの処理時間は，平均T秒の指数分布に従う」とあるため、上記式の平均サービス時間はT秒が入ります。平均待ち時間がT秒以上となる利用率を求めたいので、以下の式で解がT秒以上となる利用率を求めればよいわけです。
利用率1－利用率×T
式を確認すると、平均サービス時間はT秒以上になるのは、利用率1－利用率の部分が1以上であるときです。この関係式を解くことで、求めるべき利用率ρ（ロー）を得られます。
ρ1－ρ≧1
ρ≧1－ρ
2ρ≧1
ρ≧0.5 ⇒ 50%
以上より、平均待ち時間がT秒以上となるのは、利用率が50%以上となったときとわかります。したがって「イ」が正解です。
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