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確率の積事象[1640]

確率さんさん(No.1)

応用情報とかで確率の問題を解いていたらふと思ったのですが、

例えば全体Uが  1 2 3 4 5  

P(A) = 1  2  5      P(B) = 3 5  

としたときに    P(A∩B) =  5  であるので  1/5  になるはずでsが、

実際に計算してみると  3/5  ×  2/5で  6/25  になってしまいませんか?

2019.06.06 22:39
ぜっとさん(No.2)

この投稿は投稿者により削除されました。(2019.06.07 10:10)

2019.06.07 10:10
ぜっとさん(No.3)

まず、条件を確認させてください。
それぞれの事象を集合で表すと、

全体事象 U = {1, 2, 3, 4, 5}
事象 A = {1, 2, 5}
事象 B = {3, 5}
A と B の和事象 = A ∪ B = {1, 2, 3, 5}
A と B の積事象 = A ∩ B = {5}

各根源事象が同様に確からしいと仮定
→ 実在するかどうかわかりませんが、「5面サイコロを1回振る様子」をイメージしています

|事象| を事象の要素数としたとき、

事象 A の 確率 P(A) = |A|/|U| = 3/5
事象 B の 確率 P(B) = |B|/|U| = 2/5
事象 A∪B の 確率 P(A∪B) = |A∪B|/|U| = 4/5
事象 A∩B の 確率 P(A∩B) = |A∩B|/|U| = 1/5

という認識をしたのですが、ここまではあっていますでしょうか。

この場合、
P(A∩B) は「5面サイコロを1回振ったときに5が出る可能性」
なので 1/5 で正しいと思います。

3/5 x 2/5 という計算が発生するとすれば、

「5面サイコロを続けて2回振り、
  1回目は A={1,2,5} のいずれか、
  2回目は B={3,5} のいずれか
  が出る確率」

が該当するかと思います。

いかかでしょうか。。。?

2019.06.07 10:11
plさん(No.4)

集合と確率で混乱していますね。
全体集合Uと、その部分集合A、Bで考えると、
U{a,b,c,d,e}
A{a,b,e}
B{c,e}
です。
=5で1/5というのは、 e だけがAもBも要素に持つ、つまりAかつBの個数を、全体から見た数の割合で表現していますよね。
Uに含まれる要素の数はa,b,c,d,eの5個。それに対してeは1個。eが何を意味するのか、それは分かりません。
ここまでが1/5。
それで、これを積事象として考えるには、確立の分母が何であるかを考える必要があります。
3/5や2/5の5というのは、起きるパターンの事です。
これでAの後にBが起きて、どちらもeになる確率は、
1/3かける1/2 = 1/6になる筈です。
なぜなら、Aには3個しかなくて、Bには2個しかないんですから。
天気で例えると、地球には[晴れ]、[曇り]、[雨]、[オーロラ]、[灰]の5つがあるとします。
これがUです。
しかし、東京には[晴れ]と[曇り]と[雨]しかありません。Aです。
また、大阪には[オーロラ]と[雨]しかありません。Bです。
東京が雨のとき、大阪が雨である場合を考えます。
東京の天気は3パターンしかないので1/3。
大阪の天気は2パターンしかないので1/2。
かけると1/6になります。

もし、A(東京)やB(大阪)を考慮しないのなら、地球をぐるぐる回る人工衛星視点で、たまたま地表が雨である確立は1/5です。
その後、もう一度地表を覗いたとき雨である確立は、1/5ですが、2回連続で雨だった確立は1/5かける1/5で1/25です。
ただし、晴れや雨やオーロラである確立は同様に確からしいとします。

6/25が答えになる場合を考えます。
東京は[オーロラ]、[灰]になると滅亡します。
大阪は[晴れ]、[曇り]、[灰]になると滅亡します。
5つの天気の確立はそれぞれ平等に確からしいとします。
あなたは旅行に行きます。まず東京に行って、天気が変わる前に大阪に行き、天気が変わる前に帰ります。
でも滅亡の時に行くとあなたも滅亡してしまいます。
あなたが滅亡に巻き込まれない確率を求めると、
3/5 かける 2/5 = 6/25
となります。
滅亡する確立は、25/25 引く 6/25 = 19/25 です。内訳を見ると、
滅亡→滅亡 = 6/25
日常→滅亡 = 9/25
滅亡→日常 = 4/25
(6+9+4)/25 
= 19/25

A∩BをA・bと表現することはありますが、その時のAは3/5ではありません。a,b,eです。
その時の・は  かける  ではなく  かつ  です。別物です。

2019.06.07 11:29
確率さんさん(No.5)

plさん、ぜっとさん

詳しい解説をありがとうございます。
勘違いしていた部分あるので参考に致したいと思います。

2019.06.07 22:33

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