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平成29年春期 午前問2[1159]

助け人さん(No.1)

まず、問題文ではαなのに、解説ではaとなっています。

次に、解説に、
適当な値を代入して計算してみると「ア」が正しいことがわかります。
仮に a=0.01, n=10 としてみると
・・・
とあります。

ここは、正攻法でいくのはいかがでしょうか?(ちょっと数学の知識が必要ですが)

(1+α)^n=1+n×α+n×(n−1)/2×α~2+・・・+α^n
これが1+n×αで近似できるのは、α^2の項以降が無視できるときであり、それは|α|が1に比べて非常に小さいときです。

2018.05.15 21:16
ぽちさん(No.2)

横からですみません。
少し数学を使ってみようとのことですので、
(1+α)^n の展開式の求め方を調べました。
学生時代に二項定理を理解していなかったのですが、
組合せの計算ができれば、係数を求められそうです。
入力の都合により、組合せの式
nCr=n!/{r!×(n−r)!}を、C(n, r)で記載します。

以下、本題です。

(a+b)^nは、
a^n, {a^(n−1)}×b, {a^(n−2)}×(b^2),
・・・, a×{b^(n−1)}, b^n の項の和になる。

a^nの係数は、
n組の(a, b)からaをn個、bを0個選ぶ組合せなので
C(n, 0)=n!/(0!×n!)=1

{a^(n−1)}×bの係数は、
n組の(a, b)からaを(n−1)個、bを1個選ぶ組合せなので
C(n, 1)=n!/{1!×(n−1)!}=n

{a^(n−2)}×(b^2)の係数は
n組の(a, b)からaを(n−2)個、bを2個選ぶ組合せなので
C(n, 2)=n!/{2!×(n−2)!}=n×(n−1)/2

・・・

a×{b^(n−1)}の係数は
n組の(a, b)からaを1個、bを(n−1)個選ぶ組合せなので
C(n, n−1)=C(n, 1)=n

b^nの係数は
n組の(a, b)からaを0個、bをn個選ぶ組合せなので
C(n, n)=C(n, 0)=1

以上から、
(a+b)^n=a^n + n×{a^(n−1)}×b 
+ n×(n−1)/2×{a^(n−2)}×(b^2)
+ ・・・ + n×a×{b^(n−1)} + b^n

a→1、b→αをおくと
(1+α)^n=1 + n×α + n×(n−1)/2×(α^2) 
+ ・・・ + n×{α^(n−1)} + α^n

2018.06.11 00:15

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